НАСЛЕДУЕТ РОМАНТИКУ

И УНИМАТЕМАНТИКА

© Лео Гимельзон (Lev Gelimson)

УНИМАТЕМАТИКА СЛЕДУЕТ РОМАНТИКЕ

История науки поэтична.
Изобретенье чисел – вот пример.
Их чистота разумная этична.
Античность с ними видися прямей.

Как вдруг открылась иррациональность –
квадратный корень и диагональ.
Редка разумных чисел персональность.
А мнимость – вообще оригинал.

Действительные числа полны дырок.
Возможность – с вероятностным нулём.
На нуль деленье – пропасть, и без бирок.
Мрак догмы аксиомой обелён.

Не меряют ни кардинал, ни меры
чувствительно всё то, что без конца.
У множеств нет количеств – нет им веры.
И не видать лица из-под венца.

Лечение – сродни гомеопатам.
Подобное подобным – постулат:
униматемантическим набатом
дорогу к постиженью устилать.

Реальна бесконечность кардиналов.
Сверхбесконечность дал обратный нуль.
Достойны ли истории анналов?
Руль знания иллюзиям верну ль?

Романтика универсальных чисел,
и множеств, и количеств, и систем
прозрачностью небесною лучится
и видится сверхбездностью совсем.

Часть первая. Классическая математика

Жили-были... Нет, ещё не числа. И тем более не действия над ними. А предметы (у них тоже своя жизнь), растения, животные и даже люди. Сначала они думали только конкретно. Если всё единственно, то нечего и считать. Остаётся давать названия. Но вот люди научились отвлекаться от различий, если это полезно. И заметили, что у пары пальцев на руке, пары палочек на песке и пары камешков в реке есть нечто общее. Оно позволяет поставить эти и любые другие пары во взаимно однозначное соответствие. И назвали это общее числом два. Это была революция! Ведь единица наконец-то перестала быть и скучать единственной... Наконец-то!
Жили-были числа. Вначале один, два, много. Неразличимое последнее объединяло всё остальное. Но, похоже, и каждому числу хочется быть единственным и неповторимым. Пришлось действовать. Для начала прибавлять единицы. Вырос натуральный ряд чисел.
Жили-были натуральные числа и сложение. "Аппетит приходит во время еды." Вот и складывались любые натуральные числа. Огорчались: ничего нового. А сложение одиноко взирало на повторения пройденного. И решило их тоже считать. То есть повторять одно и то же слагаемое несколько раз. И назвало это умножением слагаемоего уже как множимого на это число раз как множитель. А итог – произведением. Бесспорным. Не то что литературное...
Жили-были натуральные числа, сложение и умножение. Ускоренное удобство – в кармане. Но ничего нового опять. В смысле чисел. Умножение-то родилось. "Где родилось, там и пригодилось." Да ещё как! Гордыня! Задрало нос. Разве угнаться тихоходному сложению! Оно оглянулось и внезапно осознало свою медлительность. Правда, заметило, что способно складывать и разные числа, а не только равные. Однако заплакало от родительского бессилия и негодования. Не только у людей. Но сколько можно? "Столько, сколько нужно." А сколько нужно? Ясно, что нисколько. "Слезами горю не поможешь." "Логика железная." Но зачем ему помогать? Пусть себе выкручивается.
И решило родить обратное действие – вычитание. Но только меньшего. То есть вычитаемые должны быть меньше уменьшаемых.
Жили-были натуральные числа, сложение, умножение и вычитание меньшего. Пока оправдалась надежда, что хоть этот ребёнок вырастет послушным. Дабы разность была всё-таки привычной. Ничего нового. Любо-дорого смотреть. Родителю. Сравнение – свою пользу. По всем статьям. Есть ещё порох в пороховницах! Тем временем умножение и здесь сыграло на опережение. И родило своё обратное действие – деление.
Жили-были натуральные числа, сложение, умножение и деление. Последнее тут же приступило к действиям. А как же? Само ведь действие! Вначале делило всё на единицу. Ничто не меняется. То ли дело, когда делитель – двойка. Нет, не школьная. Через раз, а именно, при нечётном делимом – новое число. Затем делится всё на тройку. И так далее. В итоге деление сообразило, что в частном получаются натуральные числа тогда и только тогда, когда делимое нацело делится на делитель, то есть кратно делителю. А при естественном последовательном наращивании натуральных делителей новые числа в частном получаются тогда и только тогда, когда делимое и делитель не имеют общих делителей, кроме единицы, то есть взаимно просты. Расплодились положительные рациональные (разумные) числа. И пользуясь бесконечным численным преимуществом перед натуральными числами, захватили и их, и власть.
Жили-были положительные рациональные числа, сложение, вычитание меньшего, умножение и деление. Пока сложение по обыкновению медлило, умножение решило себя ещё более ускорить. И родило возведение в степень. Ничего нового. Но скорость страшная. Дух захватывает! И власть тоже. Хотя и бесплодное. В смысле получения нового. Но разве все диктаторы плодотворны? И на родительское умножение – вечный детский взгляд свысока. Мало того что старорежимное, так ещё и тихоходное. А дедушка-сложение посмеивается в усы. Так и думалось, что внуки отомстят. Закон отрицания отрицания. Теперь уже умножение оглянулось и внезапно осознало и свою сравнительную медлительность. Правда, вспомнило родительский контрдовод. заметило, что способно умножать и разные числа, а не только равные. Однако тоже заплакало от родительского бессилия и негодования. А сложение ухмылялось.
Жили-были положительные рациональные числа, сложение, вычитание меньшего, умножение, деление и возведение в степень. У последнего тоже появились родительские чувства. И оно родило уже своё обратное действие – извлечение корня. Которое с места в карьер стало действовать. Действие! Начало с квадратных корней из натуральных чисел. Единица осталась на месте. Но уже двойка вызвала катастрофу. Всего-то диагональ единичного квадрата. А гонору сколько! Но ведь и правда! Таких рациональных чисел нет. Значит, иррациональное. Неразумное. Попросту глупое. Но если смысл плохой, то пусть хоть будет завуалирован! И корень квадратный из двух нацепил ярлык иррационального. И захватил власть. Но тут же выяснилось, таких гораздо больше, чем рациональных. Для них необходимо и достаточно, чтобы подкоренное число было не просто рациональным, но ещё и точной степенью некоторого рационального числа с показателем корня. Пришлось разделить власть со всеми иррациональными коллегами. А вот захватить рациональные никак не получается. Хоть видит око, да зуб неймёт. Потому что они другие. Хоть и сжаты подавляющим преимуществом иррациональных, но на своих собственных местах. Правда, сравнительно редких. Раз не удаётся поглотить, то приходится объединяться. В положительные уже действительные числа.
Жили-были положительные действительные числа, сложение, вычитание меньшего, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. И тут сверхмедлительное сложение по недомыслию решило научить вычитание меньшего вычитать не только меньшее, но и равное и даже большее. Так вычитание сразу повзрослело и показало зубы. Да ещё какие! Просто пошло ва-банк. Быстро надоело знакомое. И вычитание решило для щекотания своих и особенно чужих нервов нарушить родительские предписания. Для начала взяло одно из чисел и вычло его из него самого. Сообразило, что не осталось ничего. То же с другими числами. Каждый раз ничего. Надоело! А числа обиженно сомкнули свой ряд. Тщательно оглядели друг друга. Не заметили ничего. Вернее, никого по имени ничто. Недолго думая, провели референдум. Единодушно потребовали наложить запрет на подобные лжедействия. Но не тут-то было! Вычитанию подсказал инстинкт, что в семье чем меньше ребёнок, тем больше у него прав и тем чаще он прав. И само потребовало у родителя-сложения не только дать ничему достойное название, но и равноправие с числами. Их возмущению не было конца, как и им самим. Но кто слушает стариков? Сложение испытало ничто, прибавление которого, как оказалось, ничего не меняло. Почему бы не обозначить маленькой окружностью? Её внутренность – как раз ничто. И вытянуть вверх ростом с числа. И назвать, скажем, нулём. Не возражать же вычитанию! Лишь бы не взбрела тому в голову новая прихоть!
Жили-были нуль, положительные действительные числа, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Теперь уже нулю подсказал инстинкт, что можно качать права. На своеобразное вождение. И не водителем, а вождём! Не только же людям и нелюдям! Но и не людям! И сразу! Не отходя от кассы. Можно? Значит, нужно! И нуль проорал, что он и только он ничего не меняет при своём сложении и вычитании и превращает всё в себя при умножении на себя. С диктаторами спорить – себе дороже. ВСЯ ВЛАСТЬ – НУЛЮ! Да, непременно прописными. Для неграмотных. Такие транспаранты всюду. И в головах у всех действий. И чисел. И самого нуля. Казалось бы, пора успокоиться всем. Но не тут-то было. Вдохновлённое вычитание стало просто неудержимым. Докатилось до того, что начало вычитать большее из меньшего. Первый успех – минус единица. Тут же захватила власть. Но только на мгновение. Оказалось, что отрицательных чисел – столько же, сколько и положительных. Первым заметил это зоркий одноглазый нуль. Вычтешь из него положительное – получишь противоположное ему отрицательное. И наоборот. А сложишь любое число с противоположным ему – получишь именно нуль. Все остальные числа разбиваются на пары взаимно противоположных и при этом различных. И только одинокий нуль самопротивоположен. То есть противоположен сам себе. Пользуясь своим единственным и неповторимым центральным и начальным положением, нуль вернул себе власть со страшной силой. Абсолютную! Предъявил ультиматум вычитанию с требованием вычитать только из него. Первоначально заартачилось. Но быстро убедилось, что неподчинение ничего нового не даёт. И взяло под козырёк. Владения нуля – все действительные числа. В их состав вошли положительные действительные числа, нуль и отрицательные действительные числа.
Жили-были действительные числа, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Последнее проснулось. Вспомнило свой иррациональный успех. Огляделось вокруг. Бросились в глаза отрицательные числа. Набросилось на них. Для начала в том же квадратном обличье. Но уже на минус единицу. Вот это да! Таких действительных корней не существует. Значит, недействительное. Воображаемое. Мнимое. Но если смысл плохой, то пусть хоть будет завуалирован! И корень квадратный из минус единицы нацепил ярлык мнимого. И захватил власть. И потребовал дополнительного титула как свидетельства о чистоте. Ничего общего с действительностью. Никто не посмел возразить. Ярлык стал чисто мнимым. А сам корень – мнимой единицей. Тем временем непослушное извлечение корня тихой сапой продолжало своё дело. Если не чёрное, то далеко не мнимое. Чисто мнимые числа расплодились. Заставили мнимую единицу честно поделиться властью. Не желая иметь ничего общего с действительными числами на горизонтальной оси, захватили вертикальную. Провозгласили её чисто мнимой. Но и нуль не дремал. Заметил, что его положение центрально уже на обеих осях. Куда устойчивей! Да и владения почти удвоились. Объявил абсолютную монархию. Естественно, свою. Поработил все действия. Заставил трудиться над действительными и чисто мнимыми числами вместе. Получились мнимые числа. Заполнили уже всю плоскость, кроме действительной оси. Не сумели поглотить действительные числа. Пришлось объединяться с ними. В итоге получились комплексные числа. На всей плоскости. Во главе с нулём. Но составляют одну из числовых систем, которые строятся на основе обычных конечных действительных чисел.

Часть вторая. Нестандартный анализ

Жила-была классическая математика. Как вдруг появился нестандартный анализ. Робинсона. Нет, совсем не Робинзона. И доказал теорему существования неких нестандартных чисел на действительной прямой. Её аборигены внимательно выслушали столь заоблачную премудрость. И поинтересовались, где именно между ними пустоты и как действовать с новичками-заполнителями. И прозвучало в ответ, что такие пустоты существуют. А их заполнители – некие нестандартные числа. И тут раздался громкий хохот. Так отреагировало скопление мнимых чисел. Высокомерно и пренебрежительно взирало на сравнительную редкость своих действительных оппонентов. Последние удивлённо посмотрели на смеющихся выскочек. Из-за их бестактных спин в верхней полуплоскости вынырнул их монарх, квадрат которого равен минус единице. И предложил свою очевидную аналогию. Дескать, просто объявляется, что точки плоскости вне числовой прямой изображают какие-то мнимые числа. Никак не связанные ни с действительными числами, ни с практически важными уравнениями. Да и лишённые всякой оперативности. Много ли пользы от заявления, что корни уравнения, которое надо решить, – некие мнимые числа без конкретного их указания? Разве что новые интуитивные доказательства известных теорем. Скорее педагогика, чем математика. Но доказана возможность построения актуальных (достигнутых) числовых бесконечно больших и малых. В классической математике – только потенциальные (становящиеся) как пределы последовательностей или функций с конечными числовыми значениями.

Часть третья. Достигнутые числовые бесконечно большие и малые

Жили-были конечные действительные числа классической математики, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Как вдруг появилась универсальная математика. И ставит задачи перед числами. В мешке – 10 шаров. Каждый – с одним из натуральных чисел от 1 до 10. Вслепую наудачу без экстрасенсорных способностей вынимается один из шаров. Какова вероятность, что на нём – наперёд заданное число, например 7? И пристально смотрит на прямую. И подпрыгивает одно из чисел. На его спине значится одна десятая. Всё верно. Автор меняет задачу. В мешке – счётное множество шаров с числами 1, 2, 3, ... , 10, ... , 100, ... , 1000, ... . Какова вероятность, что на вынутом шаре – наперёд заданное число, например 7? А вот теперь ни одно из чисел не подпрыгивает. В чём дело? Может быть, просто не умеют считать? И тут появляется какая-то царица. С чего бы это вдруг? На короне надпись: «Классическая математика». Теперь ситуация прояснилась. Король математики Гаусс провозгласил: «Математика – царица наук...» И она решительно одобряет воздержание своих подданных. Будь та вероятность 0, стала бы сумма счётного множества нулей тоже 0 как предел последовательности нулевых частных сумм. А должна быть 1 как вероятность достоверного события. Ведь ровно один шар вынимается, и одно из названных чисел оказывается на нём. Будь та вероятность положительной, стала бы сумма счётного множества таких вероятностей плюс бесконечностью как предел последовательности частных сумм, которые при достаточно большом количестве слагаемых становятся больше любого наперёд заданного числа. Это обеспечивается аксиомой Архимеда. Нет, не его вполне объективным законом о выталкивающей силе, который носит характер открытия, как и естественные науки в целом. Это – в самой природе. А вот названная аксиома, как и вся математика, – изобретение. Достаточно разделить наперёд заданное число на ту положительную вероятность и брать натуральные числа, превышающие это частное. А ведь сумма должна быть 1 как вероятность достоверного события. Значит, искомая вероятность просто не существует. И вопрошает удивлённая униматематика о вероятности выбора одной из точек отрезка, прямой, прямоугольника или плоскости. И замечает четыре подпрыгивания нуля. И одобрительные взгляды царицы. И за словом в карман почему-то не лезет. И делает царице смелое заявление. Совпадение числа на единственном шаре, вынутом из счётного множества шаров, с наперёд заданным числом – вполне разумное и возможное событие. Как и совпадение единственной точки, выбранной из множества точек, с наперёд заданной точкой из этого множества. Каждое такое событие должно иметь некую непременно положительную вероятность. А нулевую – только невозможное событие. Но царица не может явно указать соответствующие числа. Значит, её числовая система является неполной. И попросту нуждается в пополнении. Радостная числовая прямая тут же проявила гостеприимство. Дескать, запас карман не тянет. И не менее радостная униматематика решительно ловит её на таком добром слове. Увязывает бесконечные кардинальные числа Кантора с избранными каноническими множествами соответствующих мощностей. Вбрасывает эти кардинальные числа в множество действительных чисел. Заставляет не только принять пришельцев, но и включить во все действия с сохранением всех свойств. И даже сколь угодно большому числу нельзя поглощать как угодно малое. Правда, единственная и неповторимая аксиома Архимеда справедлива лишь для конечных чисел. И, конечно же, просто не подходит для такого их расширения. И униматематика заменяет её своей естественно обобщённой сверхархимедовой. И плодятся новички невиданными темпами. И окружают плотной толпой-монадой каждого из старожилов. И готовы универсально и точно мерить униколичеством всё на свете. И точно выполняются законы сохранения даже в бесконечно большом и малом. И нет никакого поглощения бесконечно малых бесконечно большими. И перестаёт бесконечность быть просто кучей совсем разных бесконечностей. Их раньше отличали друг от друга крайне грубо. И часто неоправданно отождествляли. И повторяет униматематика те же задачи. И соответствующие новички радостно подпрыгивают. И Больцано. И Кантор. И универсальные числа-сокровища дружно смыкают свои тесные ряды. И осознают, насколько сильнее они вместе.

Часть четвёртая. Достигнутые числовые сверхбесконечно большие и малые

Жили-были действительные числа с достигнутыми числовыми бесконечно большими и малыми, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Но деление обламывало зубы о царственный нуль как делитель. Трагедия! У бесстрашной универсальной математики руки бесконечно длинные. А им хочется стать сверхбесконечно длинными. Вот и пришлось взяться за числового диктатора. Почему? Умножение любой даже достигнутой бесконечности с любой физической размерностью на безразмерный числовой нуль даёт именно его. Ни другие числа, ни физические величины неспособны так всеядно и бесследно заглатывать всё подряд. Значит, нуль по своей сути и пророде – вообще не число, а некая бездонная сверхбесконечная пропасть. В ней пропадает всё: и абсолютные величины, и знаки, и физические размерности. А привычный нам числовой нуль – не более чем удобный и полезный символ. В условной всегда системе координат – всего лишь некая условная проекция настоящего нуля как этой пропасти на эту систему и её оси. А цифровой нуль в позиционных системах счисления просто занимает место как удобный символ пустоты. Значит, настоящий нуль как не число не входит вообще ни в какие числовые множества. То есть, в частности, не является ни натуральным, ни целым, ни рациональным, ни действительным, ни комплексным числом. А если это так, то нечего на него и делить, коль скоро воспользоваться таким делением не умеем. Но вот универсальная математика сообразила, что нуль является готовой обратной сверхбесконечностью. На его основе создала универсальные числовые сверхбесконечно большие и малые со знаками. Начала с малого (а не с большого, как с использованием канонических кардинальных бесконечностей). Законы сохранения обязаны точно выполняться даже в сверхбесконечно большом и малом! А сверхбесконечно драгоценному нулю-монарху тем более пропадать нельзя! Беречь как зеницу всевидящего ока! Назвала нуль абсолютным. И увековечила под этим титулом. Достойным такого абсолютного монарха. Послушного только ей. Тщательно скопировала. Раздвоила его копию на противоположные части. Чем не искусное искусственное создание полезной противоречивой модели? Положительная и отрицательная части не равны ни друг другу, ни абсолютному нулю. Вот и нули со знаками плюс и минус! Плюс нуль, ссылаясь на положительность, потребовал абсолютной власти. Но под сверхтяжёлым взглядом абсолютного нуля резко умерил аппетиты до уровня монаршеского фаворита. Под уже благосклонным взглядом монарха потребовал абсолютной власти хотя бы над близнецом-братом – минус нулём. В смысле представления собой его абсолютной величины. Тот при такой ярко выраженной отрицательности не посмел и пикнуть. Обнаглевший плюс нуль провозгласил себя канонической (по-английски пушечной) достигнутой числовой положительной сверхбесконечно малой. Заставил единицу разделиться на него. Против лома нет приёма. Назначил частное на должность канонической достигнутой числовой положительной сверхбесконечно большой. Аппетит приходит во время еды. Плюс нуль взял за шиворот брата-акробата и потащил тоже расправиться с покорной единицей. Той заодно пришлось разделиться и на минус нуль. Уже он почувствовал власть и назначил частное на должность канонической достигнутой числовой отрицательной сверхбесконечно большой. Не верится, что малые командуют большими? А разве в семьях редко бывает так? Все четыре канонические достигнутые числовые сверхбесконечности набросились на все действия, невзирая на то, что те – ещё более канонические. Потому что более редкие. Статистика не только знает, но и решает всё. Почему такое внимание монарху, и не только числовому? Он один, а подданных – как правило, минимум миллионы. А в числах – сверхбесконечность. Но наглости нет предела. Тут же все покорённые действия дружно, как бурлаки, сразу взялись и за все конечные действительные числа, и за все четыре канонические достигнутые числовые сверхбесконечности. И послушно выдали на-гора универсальные числа, включая достигнутые числовые сверхбесконечно большие и малые. Мало того, что со знаками плюс и минус. Так ещё и любых порядков. И точно выполняются законы сохранения даже в сверхбесконечно большом и малом. И нет никакого поглощения сверхбесконечно малых сверхбесконечно большими. Сверхчувствительность! И сверхделимость (сверхчувствительная к делимому делимость на нули со знаками)! Сославшись на такие всесильные законы, универсальные числа потребовали законной жилплощади. Сверхбесконечность подданых убедила даже универсальную математику, которая выделила тоже универсальную числовую шкалу. Абсолютный нуль-монарх тут же захватил самый центр и назвал его началом. Хотя и посредине. Положительным уничислам повелел строиться справа, отрицательным – слева. Центратьно симметрично. Фотогенично. И радостно для монаршеского глаза. Рядом фавориты – сверхбесконечно малые. В их серединах главные фавориты – канонические сверхбесконечно малые. На соседних интервалах – бесконечно малые. Далее – интервалы для конечных чисел с единицами посредине. Затем – интервалы для бесконечно больших. А по краям – интервалы для сверхбесконечно больших. В их серединах – канонические сверхбесконечно большие. Каждый сверчок знай свой шесток.

Часть пятая. Универсальные опустошаемость и бездейственность

Жили-были универсальные числа, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Но в классической математике пустая сумма равна нулю, в то время как пустое произведение единично. Понятна цель: получение верных итогов как при сложении пустой суммы с любым числом, так и при умножении пустого произведения (такими бывают не только литературные) на любое число. Однако у бесстрашной универсальной математики не только руки сверхбесконечно длинные, но и глаза сверхбесконечно зоркие. Вот и заметили и даже здесь сразу триаду принципиальных изъянов классической математики. Во-первых, и пустая сумма, и пустое произведение – частные случаи одного и того же итога универсального бездействия, когда не используются ни операнды (в частности, числа), ни действия. Поэтому они должны совпадать. А нуль и единица явно различны. Во-вторых, итог предыдущих действий никак не должен зависеть от того, намечаются ли последующие действия и какие именно. Но в классической математике пустая сумма равна нулю явно и исключительно в расчёте именно и только на последующее сложение. В то время как единично пустого произведения на последующее умножение. А что если, скажем, наоборот, умножать пустую сумму на любое число, получая вместо него нуль? Или складывать пустое произведение с любым числом, получая вместо него его с увеличением на единицу? В-третьих, для итога универсального бездействия нет в классической математике никакого подходящего значения. Нуль и единица попытались было возразить. Однако наткнулись на всё ту же неуниверсальность. Пожелали не только критики, но и созидательности. Универсальная математика только того и ждала. Ввела унипустоту и как универсальный пустой и опустошающий элемент, и как итог пустого множества любых операций над любым множеством произвольных операндов. Опустошающий в том смысле, что это ещё и универсальный безразличный и бездейственный операнд, который нейтрализует любое действие над ним с сохранением результата до этого действия. Обозначила унипустоту на выбор во избежание путаницы: или знакомым символом пустого множества – перечёркнутым кружком, или символом пустого элемента (пересечением двух пар параллельных на обычной клавиатуре), чаще используемым для нумерации. Нуль и единица попросили объяснить не простом примере. Универсальная математика за словом в карман не полезла. Скажем, человек положил на стол одиннадцать яблок. Пригласил тоже одиннадцать гостей. И решил разделить все яблоки, не разрезая их, поровну с остатком между всеми гостями, которые действительно пришли. И остаток взять себе. Напрмер, если пришли четверо, то каждому из них по два яблока, а себе три. Но не пришёл никто. Число гостей равно нулю. Так что делать? Одиннадцать делить на нуль? Получать сверхбесконечность яблок? Откуда? Их всего одиннадцать. Чушь. Значит, если и делить, то явно не на нуль. Тогда на что? Множество пришедших гостей пусто. Вот и обозначим их количество унипустотой. Делим одиннадцать на унипустоту. Она нейтрализует деление и сохраняет то, что было до него. То есть одиннадцать яблок. Ничего не делается. Они как остаток продолжают лежать на столе. И остаются пригласившему. Всё естественно.

Часть шестая. Универсальная действенность

Жили-были универсальные числа, сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Но в классической математике множество операндов обычно или конечно (с натуральным числом операндов), или счётно. Возведение в степень и последующие гипероперации не перестановочны. Степенные и показательные функции используются как есть и полезны для представления очень больших или малых чисел только при показателях не меньше единицы. Возведение отрицательного основания в степень хорошо определено только для чётных показателей. Уже для нечётных – неоднозначность. Скажем, минус один в третьей степени даёт минус один. Но минус один в степени шесть вторых даёт по определению арифметического значения корня чётной степени уже плюс один. А универсальная математика всегда готова на универсальную действенность, в том числе с нецелым количеством либо несчётным множеством операндов. Возведение в степень и последующие сверхдействия в сочетании со сложением или умножением в любом порядке перестановочны. Степенные и показательные функции прекрасно работают и при отрицательных основаниях. И сверхполезны для представления очень больших или малых чисел при любых показателях. Всё это – благодаря естественным преобразованиям. Отрицательный знак изымается у основания и придаётся самой степени. И в альтернативном минус-возведении в степень, сохраняющем знак её основания. И в альтернативном минус-плюс-возведении в степень, в котором не только сохраняется знак её основания, но и заменяется показатель наибольшим из двух значений: модуля этого показателя и обращения этого модуля. А в альтернативном минус-умножении, сохраняющем отрицательность (и абсолютную величину обычного произведения). То есть произведение ненулевых сомножителей положительно при положительности всех сомножителей и отрицательно при отрицательности хотя бы одного из них. Кроме того, предложены корне-логарифмические сверхфункции, обратные сверхполезным степенно-показательным функциям при равенстве всех показателей основанию. А также собственные корне-логарифмические сверхфункции, обратные сверхполезным степенно-показательным функциям при равенстве основанию как всех показателей, так и общего числа их и самого основания. И царица-математика одаряет униматематику доброй, благодарной улыбкой...

Подробности и ссылки: http://kekmir.ru/members/person_6149.html